《应用概率统计》综合作业二 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80，10和10件，现从中随机地抽取一件，记 ，则，的联合分布律为 （X1，X2）～ (0，0) (0，1) (1，0) (1，1) 0.1 0.1 0.8 0 . 2．设二维连续型随机变量（，）的联合密度函数为其中为常数，则= 8 . 3．设随机变量和相互独立，且，，则（，）的联合密度函数为 f(y)=∅*'(lny)×(lny)' =N(μ,σ^2)|x = lny ×1/y . 4．设随机变量和同分布，的密度函数为若事件，相互独立，且， . 5．设相互独立的两个随机变量和具有同一分布律，且 0 1 0.5 0.5 则随机变量的分布律为 Z=0，P=14 Z=1，P=34 . 6．设表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则的数学期望 18.4 . 7．设离散型随机变量服从参数的泊松分布，且已知，则参数= 1 . 8．设随机变量和相互独立，且均服从正态分布，则随机变量的数学期望 . 9．设随机变量，，相互独立，其中服从正[0，6]区间上的均匀分布，服从正态分布，服从参数的泊松分布，记随机变量，则 46 . 10．设随机变量的数学期望，方差，则由切贝雪夫（Chebyshev）不等式，有 1/9 . 二、选择题（每小题2分，共20分） 1．设两个随机变量和相互独立且同分布，，，则下列各式成立的是（ A ） （A） （B） （C） （D） 2．设随机变量的分布律为： 且满足，则等于（ B ） （A）0 （B） （C） （D）1 3．设两个随机变量和相互独立，且都服从（0，1）区间上的均匀分布，则服从相应区间或区域上的均匀分布的随机变量是（ D ） （A） （B） （C） （D）（） 4．设离散型随机变量（）的联合分布律为 若和相互独立，则和的值为（ A ） （A）， （B） ， （C） （D）， 5．设随机变量的相互独立，其分布函数分别为与，则随机变量的分布函数 是（ C ） （A） （B） （C） （D） 6．对任意两个随机变量和，若，则下列结论正确的是（ B ） （A） （B） （C）和相互独立 （D）和不相互独立 7．设随机变量服从二项分布，且，，则参数，的值等于（ B ） （A）， （B），（C）， （D）， 8．设两个随机变量和的方差存在且不等于零，则是和的（ C ） （A）不相关的充分条件，但不是必要条件 （B）独立的必要条件，但不是充分条件 （C）不相关的充分必要条件 （D）独立的充分必要条件 9．设随机变量（，）的方差，，相关系数，则方差（ C ） （A）40 （B）34 （C）25.6 （D）17.6 10．设随机变量和相互独立，且在（0，）上服从均匀分布，则（ C ） （A） （B） （C） （D） 三、（10分）设随机变量，，，相互独立，且同分布：，0.4，=1，2，3，4． 求行列式的概率分布. 解答： Y1=X1 X4 Y2=X2 X3 Z=Y1-Y2 P{Y1=1}=P{Y2=1}={X2=1,X3=1}=0.16 P{Y1=0}P{Y2=0}=1-0.16=0.84 Z有三种可能-1,0,1 P{Z=-1}={Y1=0,Y2=1}=0.84×0.16=0.1344 P{Z=1}P{Y1=1,Y2=0}=0.16×0.84=0.1344 P{Z=0}=1-2×0.1344=0.7312 Z -1 0 1 P 0.1344 0.7312 0.1344 四、（10分）已知随机变量的概率密度函数为，； （1）求的数学期望和方差. （2）求与的协方差，并问与是否不相关？ （3）问与是否相互独立？为什么？ 解答： 因此 因此，相关系数：， 故X与|x|不相关 综上分析可知，X的数学期望为0，方差为2，X与|x|不相关但不独立 五、（10分）设二维随机变量（）的联合密度函数为试求： （1）常数； （2），； （3），； （4）. 解答： (1)由概率密度函数的性质∫+∞−∞∫+∞−∞f(x,y)dxdy=1，得 ∫+∞0dy∫y0cxe−ydx=c2∫+∞0y2e−ydy=c=1， 即c=1 (2)由于为判断X与Y的相互独立性,先要计算边缘密度fX(x)与fY(y). fX(x)=∫+∞−∞f(x,y)dy={xe−x0amp;,x>0amp;,x⩽0 类似地,有fY(y)=⎧⎩⎨12y2e−y0amp;,y>0amp;,y⩽0 由于在0<x<y<+∞上,f(x,y)≠fX(x)fY(y) 因此随机变量X与Y不是相互独立的。 (3)当y>0时,fX|Y(x|y)=f(x,y)fY(y)=⎧⎩⎨⎪⎪2xy20amp;,0<x<y<+∞amp;,其它， 当x>0时,fY|X(y|x)=f(x,y)fX(x)={ex−y0amp;,0<x<y<+∞amp;,其它； (4)P{X<1|Y<2}=P(X<1,Y<2)P(Y<2)=∫1−∞∫2−∞f(x,y)dxdy∫2−∞fY(y)dy =∫10dx∫2xxe−ydy∫2012y2e−ydy=1−2e−1−12e−21−5e−2， 由条件密度的性质知P{X<1|y=2}=∫1−∞fx|y(x|2)dx， 而fx|y(x|2)=⎧⎩⎨x20amp;,0<x<2amp;,其它. ∴P{X<1|y=2}=∫10x2dx=14. 六、（10分）两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中的一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动.试求两台自动记录仪无故障工作的总时间的概率密度函数及数学期望和方差. 解答： 用X1,X2表示两台机器先后开动的记录仪无故障工作的时间， 则：T=X1+X2. 由已知条件,X1与X2相互独立,且Xi(i=1,2)的概率密度为： p(x)={5e−5x, x>00, x⩽0， 利用两个独立随机变量和的密度公式可得： ①对于任意t>0，T的概率分布： f(t)=∫∞−∞p1(x)p2(t−x)dx=25∫ t0e−5xe−5(t−x)dx=25e−5t∫ t0dx=25te−5t ②当t⩽0时,显然有：f(t)=0. 于是， f(t)={25te−5t, t>00, t⩽0. 由于Xi(i=1,2)服从参数为λ=5的指数分布， 所以：EXi=15,DXi=125. 因此,ET=E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=25 因为X1与X2相互独立， 所以： DT=D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)=225 七、（10分）设随机变量和相互独立，服从[0，1]上的均匀分布，的密度函数为试求随机变量的密度函数. 解答： 解：∵X与Y都服从[0,1]上的均匀分布 ∴, ∵随机变量X与Y相互独立 ∴ 当0≤z＜1时， 当1≤z≤2时， 当z＜0或z＞2时， 综上所述， 八、（10分）某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80、10和10件，现在从中随机抽取一件，记. 试求：（1）随机变量与的联合分布律； （2）随机变量与的相关系数. 解答： （1）设事件Ai 抽到第i等品（i=1,2,3） 由题意可知A1、A2、A3两两互不相容，且P（A1）=0.8，P（A2）=0.1，P（A3）=0.1， 又 则X1和X2的可能取值为：（0,0）、（0,1）、（1,0）、（1,1） 并且有：P{X1=0,X2=0}=P[A3]=0.1, P{X1=0,X2=1}=P[A2]=0.1, P{X1=1,X2=0}=P[A1]=0.8, P{X1=1,X2=1}=P[∅]=0, 于是，得到X1和X2的联合概率分布列： （X1,X2）-() （2）∵EX1=1x0.8+0x0.1+0x0.1=0.8，EX2=0x0.8+1x0.1=0x0.1=0.1 ∴DX1=EX1-EX12=0.8-0.82=0.16 DX2=EX2-EX22=0.1-0.12=0.09 EX1X2=0X0X0.1+0X1X0.1+1X0X0.8+1X1X0=0 于是可得Cov（X1,X2）=E(X1X2)-EX1.EX2=0-0.8X0.1=-0.08 从而随机变量X1、X2的相关系数：